چارنز و رودز و کوپر، تحلیل پوششی داده ها را این چنین تعریف می‌کنند، یک مدل برنامه ریزی ریاضی به کار گرفته شده برای مشاهداتی است که تابع تولید و یا مرز کارایی حاصل از این مشاهدات را تخمین بزند.
به طور کلی می‌توان چنین بیان داشت، تحلیل پوششی داده ها یک ابزار قدرتمند ریاضی و یک روش ناپارامتری و مبتنی بر برنامه‌ریزی خطی برای اندازه‌گیری کارایی نسبی مجموعه‌ای از واحدهای مشابه با ورودی و خروجیهای یکسان می‌باشد. در این روش با تمرکز بر هر یک از واحدهای تصمیم‌گیری، وزن‌هایی برای ورودی‌ها و خروجیهای آن ها به طور جداگانه محاسبه می‌شود و کارایی هر واحد با بهره گرفتن از نسبت مجموع موزون خروجیها به مجموع موزون ورودی‌ها به دست می‌آید که عددی از یک تا صفر می‌باشد و با توجه به کارایی محاسبه برای واحدها، در نهایت واحدهای تصمیم گیری را در دو سته واحدهای کارا واحدهای ناکارا طبقه می کند واحد کارا، واحدی است که کارایی آن برابر با یک شده است واحد ناکارا، واحدی است که کارایی آن کمتر از یک شده است.
۱-۳-۲- بازدهی به مقیاس در تحلیل پوششی داده ها
بازده به مقیاس ارتباط بین نسبت تغییرات ورودی ها و خروجیهای یک واحد تصمیمگیرنده را بیان می کند. نوع بازده به مقیاس یک واحد تصمیم گیری، پاسخ به این سؤال است که اگر ورودی ها را افزایش دهیم چه تغییری در مقدار خروجهای واحد تصمیمگیرنده رخ می‌دهد. بازده به مقیاس[۱۰۲]، می تواند ثابت و یا متغیر باشد و بازده به مقیاس متغیر خود می تواند افزایشی و یا کاهشی باشد. لذا بازده به مقیاس یک واحد تصمیم گیری می تواند به سه نوع زیر باشد (ری[۱۰۳]، ۲۰۰۴):
- بازده به مقیاس ثابت[۱۰۴]: اگر میزان ورودیهای یک واحد تصمیم گیری به یک نسبت افزایش یابد، میزان خروجیها نیز به همان نسبت افزایش یابد یا به عبارتی دیگر نسبت افزایش در خروجیها متناسب با نسبت افزایش در ورودی ها باشد، بازدهی به مقیاس ثابت است و به صورت ریاضی داریم:
رابطه ۲-۵
- بازده به مقیاس افزایشی[۱۰۵]: اگر میزان ورودیهای یک واحد تصمیم گیری به یک نسبت افزایش یابد، میزان خروجیهای آن واحد بیش از نسبتی که ورودی ها افزایش یافته، افزایش یابد، یا به عبارتی دیگر نسبت افزایش در خروجیها بیش از نسبت افزایش در ورودی ها باشد، بازدهی به مقیاس افزایشی است و به صورت ریاضی داریم:
رابطه ۲-۶
- بازده به مقیاس کاهشی[۱۰۶]: اگر میزان ورودیهای یک واحد تصمیم گیری به یک نسبت افزایش یابد، میزان خروجیهای آن واحد کمتر از نسبتی که ورودی ها افزایش یافته، افزایش یابد، یا به عبارتی دیگر نسبت افزایش در خروجیها کمتر از نسبت افزایش در ورودی ها باشد، بازدهی به مقیاس کاهشی است و به صورت ریاضی داریم:
رابطه ۲-۷
y
y
y
x
x
x
بازدهی به مقیاس کاهشی با در نظر گرفتن یک ورودی و یک خروجی
بازدهی به مقیاس افزایشی با در نظر گرفتن یک ورودی و یک خروجی
بازدهی به مقیاس ثابت با در نظر گرفتن یک ورودی و یک خروجی
شکل ۲-۵- بازدهی به ثابت، افزایش و کاهشی
۲-۳-۲- مدل‌های تحلیل پوششی داده ها
۱-۲-۳-۲- مدل CCR
در سال ۱۹۵۷ فارل با بهره گرفتن از روشی مانند اندازه گیری در مباحث مهندسی، اقدام به اندازه گیری برای یک واحد تولیدی کرد. موردی که فارل برای اندازه گیری کارایی مدنظر قرار داد، شامل یک ورودی و یک خروجی بود. چارنز، کوپر و رودز، دیدگاه فارل را توسعه دادند و مدلی را ارائه کردند که توانایی اندازه گیری کارایی با چندین ورودی و خروجی را دارد (مهرگان، ۱۳۹۱). این مدل با توجه که به اینکه تمامی داده ها را تحت بررسی قرار می‌دهد، تحلیل پوششی (فراگیر) داده ها نام گرفت و برای اولین بار در رساله دکتری ادوارد رودز و به راهنمایی آقای کوپر به منظور ارزیابی رشد تحصیلی دانش آموزان مدارس دولتی امریکا در دانشگاه کارنگی مورد استفاده قرار گرفت و در سال ۱۹۷۸ در مقالهای با عنوان اندازه گیری کارایی واحدهای تصمیم گیری[۱۰۷] ارائه شد. از آنجا که این مدل توسط چارنز، کوپر و رودز ارائه گردید به مدل CCR که از حروف اول نام این سه فرد تشکیل شده است، معروف گردید (ساعتی و دیگران، ۱۳۸۱).
در مدل CCR بازدهی نسبت به مقیاس ثابت است.
۱-۱-۱-۳-۲- مدل نسبت CCR
مدل نسبت CCR برای ارزیابی کارایی واحد تحت بررسی (صفر) به صورت زیر است:
s.t
مدل ۲-۱
𝑢ᵣ, 𝑣ᵢ≥۰
J=1, 2, 3, …n
𝑣ᵢ: وزن ورودی iام 𝑢ᵣ: وزن خروجی rام
xi0: ورودی iام واحد تحت بررسی yr0: خروجی rام واحد بررسی
Xij: ورودی iام واحد jام yrj: خروجی rام واحد jام
خطی کردن مدل برنامه ریزی کسری
مدل برنامه ریزی کسری، مدلی است که تابع هدف آن از نسبت مجموع موزون خروجیها به مجموع موزون ورودی ها تشکیل شده است. در این مدل محدودیتها به صورت خطی است، اما با توجه به تابع هدف، این مدل، یک مدل برنامه ریزی کسری می‌باشد. برای تبدیل کردن این مدل برنامه ریزی کسری به یک مدل برنامه ریزی خطی باید دو بار تغییر متغیر به شرح انجام پذیرید:
رابطه ۲-۸
با انجام تغییر متغیر فوق (رابطه ۲-۸) و طرفین وسطین کردن محدودیتها، مدل به صورت مدل ۲-۲ در خواهد آمد:
Max Z0=
s.t
مدل ۲-۲
– ≤۰
(۱)
J=1, 2, 3, …n
=۱
(۲)
𝑢ᵣ, 𝑣ᵢ, ≥۰
مجدودیت (۲) همان رابطه ۲-۸ (تغییر متغیر) است. حال رابطه (۱) را در t ضرب کرده:
– ≤۰
رابطه ۲-۹
j=1, 2, 3, …n
تغییر متغیر برای بار دوم را انجام میدهیم:
رابطه ۲-۱۰
در نهایت مدل ۲-۱ به صورت مدل ۲-۳ در می آید:
Max Z0=
مدل ۲-۳
j=1, 2, 3, …n
s.t
– ≤۰
=۱
, ≥۰
اما برای تبدیل مدل نسبت CCR به مدل برنامه ریزی خطی، چارنز، کوپر و رودز روشی را با استدلال زیر به کار گرفته‌اند. در این روش استدلال بر آن است که برای حداکثر کردن مقدار یک عبارت کسری به دو شیوه می‌توان اقدام کرد: ((مخرج کسر را ثابت در نظر گرفت و صورت را حداکثر کرد و یا اینکه صورت کسر را ثابت در نظر گرفت و مخرج آن را حداقل کرد)). بسته به اینکه کدام‌یک از دو شیوه به کار گرفته شود: دو نوع مدل حاصل می شود، مدل‌های ورودی محور[۱۰۸] (نهاده گرا) و خروجی محور[۱۰۹] (ستاده گرا)، (مهرگان، ۱۳۹۱).
۲-۱-۲-۳-۲- مدل مضربی (اولیه) CCR ورودی محور
با ثابت نگهداشتن مخرج کسر مدل نسبت (مخرج کسر را معادل با یک قرار می‌دهد) و حداکثر کردن صورت آن، مدل مضربی CCR ورودی محور حادث میگردد. به این ترتیب تابع هدف مدل به صورت ماکزیمم سازی در می آید و مدل دارای دو دسته محدودیت میگردد: دسته اول مربوط به نسبت مجموع موزون خروجیها به ورودی ها و دسته دیگر مربوط به محدودیت تساوی قرار دادن مخرج کسر تابع هدف می‌باشد.
Max Z0=
مدل ۲-۴
s.t
=۱
– ≤۰
j=1, 2, 3, …n
